Exponentielles Wachstum

Ein Begriff, der im Zusammenhang mit der grassierenden Sars-Covid-19-Pandemie immer wieder zu hören ist. Ich habe mich einmal damit beschäftigt und einen ausgewiesenen Fachmann, auch zu diesem Thema, in dem folgenden Artikel zitiert. Besonders hinweisen möchte in diesem Zusammenhang auf dessen Webseite. Ganz bewusst habe ich mathematische Zusammenhänge dabei ausgeblendet. Die Lektüre ist als solche schon spannend und aufschlussreich genug. Viel Spaß und große Erkenntnisse beim Lesen.

www.energie-lexikon.info

Auszug aus dem Artikel von Dr. Rüdiger Paschotta

Epidemien

Eine Epidemie, die durch Infektionen mit Bakterien oder Viren verursacht wird, breitet sich durch die Übertragung dieser Krankheitserreger zwischen Menschen aus. Ein solcher Übertragungsvorgang wird natürlich in einer Bevölkerung umso wahrscheinlicher, je mehr Menschen bereits infiziert sind. Solange die Wahrscheinlichkeit, dass ein Infizierter jemand anderes ansteckt konstant und hoch genug bleibt, kommt es zu einem exponentiellen Wachstum.

Häufig betrachtet man den sogenannten Reproduktionsfaktor – die durchschnittliche Anzahl derjenigen, die durch einen Infizierten angesteckt werden. Ein exponentielles Wachstum ergibt sich, wenn der Reproduktionsfaktor größer als 1 ist. Dagegen kommt es zu einem exponentiellen Abklingen, wenn dieser Faktor kleiner als 1 ist.

Ansteckungs-Epidemien zeigen ein Schwellenverhalten: Wenn die Ansteckungswahrscheinlichkeit pro Infizierten unter eine bestimmte Schwelle gedrückt wird, klingen die Krankheitsfälle ab.

Daraus ergibt sich eine interessante Schlussfolgerung: Um einen massiven Ausbruch einer Epidemie zu verhindern, muss man Ansteckungen nicht etwa perfekt vermeiden. Es genügt, den Reproduktionsfaktor etwas unter 1 zu drücken – was zu einem negativen Wachstumskoeffizienten führt.

Sind die ergriffenen Anstrengungen aber etwas zu schwach, sodass der Reproduktionsfaktor immer noch über 1 liegt, erhält man weiter ein exponentielles Wachstum – nur eben ein verlangsamtes. Damit darf man sich nicht begnügen, wenn man die Ansteckung eines großen Teils der Bevölkerung vermeiden will. Dies gilt beispielsweise in der 2019 begonnenen Coronaviren-Pandemie: Nur die Zahl der Intensivpflegeplätze in den Krankenhäusern zu erhöhen, könnte das Problem nicht lösen, da die Last bei exponentiellem Wachstum jede Kapazitätsgrenze früher oder später übersteigen würde. Eine solche Strategie wäre genauso erfolgversprechend, wie auf offenem Meer vor einem Hai durch schnelles Schwimmen zu flüchten: Der Hai ist immer schneller als Sie.

Warum genau klingt eine Epidemie auch ohne aktive Gegenmaßnahmen irgendwann ab?

Natürlich ist auch ohne aktive Gegenmaßnahmen kein grenzenloses Wachstum einer Epidemie möglich: Mehr als 100 % einer Bevölkerung können ja nie infiziert werden. Bereits etwas bevor dies erreicht wird, nehmen der Reproduktionsfaktor und die Rate der neuen Ansteckungen deutlich ab, weil die Infizierten von immer weniger noch nicht infizierten Menschen umgeben sind, die man noch anstecken könnte. Ein konstanter Reproduktionsfaktor und ein konstanter Wachstumskoeffizient – die Merkmale exponentiellen Wachstums – sind eben nur möglich, solange der Großteil der Bevölkerung noch nicht infiziert wurde. Aber am Ende erwischt es dann eben doch die meisten – ohne Grund klingt eine Epidemie nicht ab, wie auch Donald Trump im Frühjahr 2020 schmerzlich (vor allem für andere) lernen musste.

Auch auf andere Weisen kann der Reproduktionsfaktor reduziert werden – einige Beispiele:

Man kann durch reduzierte soziale Kontakte (“social distancing”) die Wahrscheinlichkeit von Übertragungen reduzieren.

Wenn es eine massenhaft anwendbare Impfung gibt, kann man u. U. so viele Menschen rechtzeitig immunisieren, dass der Reproduktionsfaktor kleiner 1 wird, lange bevor die Krankheit einen wesentlichen Teil der Bevölkerung erfasst hat.

Wenn sich die Wetterverhältnisse so ändern, dass dies die Ansteckungen wesentlich reduziert, führt dies manchmal dazu, dass eine Krankheitswelle von selbst wieder abklingt.

Im Zusammenhang mit der Corona-Pandemie war besonders anfangs häufig zu beobachten, dass ein Verständnis der wesentlichen Aspekte dieser Krise am fehlenden Verständnis für exponentielles Wachstum scheitert. Auch sonst vernünftige Menschen konnten es sich einfach nicht vorstellen, dass die Zunahme von Infektionen auf damals noch geringem Niveau rasch zu einem wesentlichen Problem führen. Das dürfte einer der Gründe dafür sein, dass viele Menschen irreführenden Fehlinterpretationen aufsaßen. Freilich gab es noch etliche andere Gründe, die ich in meinem Artikel über die Aufdeckung von Irrtümern analysiert habe.

Im Einzelnen sind die Verhältnisse bei Epidemien aus diversen Gründen natürlich um einiges komplizierter als z. B. beim Wachstum von Bakterien in einer Nährlösung. Beispielsweise kann die Ansteckungswahrscheinlichkeit innerhalb einer Familie oder einer Arbeitsgruppe recht hoch sein, über die Grenzen solcher Gruppen hinweg dagegen geringer. Außerdem lässt sich oft schwer rechnen, da z. B. die Anzahl der bereits Infizierten nicht so leicht ermittelbar ist. Der möglichst intelligente Umgang mit diesen und etlichen weiteren Problemen gehört zur zentralen Aufgabe der Epidemiologie.

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